Cho cấp số cộng (an) , cấp số nhân (bn) thỏa mãn a2>a1>=0, b2>b1>=1 và hàm số f(x)=x^2-3x sao cho f(a1)+2=f(a1) và f(log2b1)+2=f(log2b1). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho bn>...

Đáp án D

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x$  trên $\left[0;+\infty \right)$ .

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left[0;+\infty \right)\\ x=-1\notin \left[0;+\infty \right)\end{array}\right..$

Bảng biến thiên hàm số f(x) trên $\left[0;+\infty \right)$  như sau:

Vì $a_2>0$  nên $f\left(a_2\right)\ge -2\Rightarrow f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)+2\ge 0\left(1\right).$

Giả sử $a_1\ge 1$ , vì $f\left(x\right)$  đồng biến trên $\left[1;+\infty \right)$  nên $f\left(a_2\right)>f\left(a_1\right)$  suy ra $f\left(a_2\right)+2>f\left(a_1\right)$  vô lý.

Vậy $a_1\in \left[0;1\right)$  do đó $-2\le f\left(a_1\right)\le 0\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\left(2\right).$

Từ (1), (2) ta có: $\left\{\begin{array}{l}f\left(a_1\right)=0\\ f\left(a_2\right)=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{a}_1=0\\ a_2=1\end{array}\right..$

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng $\left(a_n\right)$  là: $a_n=n-1.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{t}_1={\log }_2{b}_1\\ t_2={\log }_2{b}_2\end{array}\right.$ , suy ra: $f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)+2$  , vì $1\le b_1<b_2$   nên $0\le t_1<t_2$ , theo lập luận trên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{t}_1=0\\ t_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\log }_2{b}_1=0\\ {\log }_2{b}_2=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{b}_1=1\\ b_2=2\end{array}\right..$

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân $\left(b_n\right)$  là $b_n=2^{n-1}$ .

Do đó $b_n>2019a_n\iff 2^{n-1}>2019\left(n-1\right)\left(*\right)$ .

Trong 4 đáp án n=16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).