Tìm tập nghiệm của bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Sử dụng $\left(\sqrt{2}-1\right)={\left(\sqrt{2}+1\right)}^{-1}.$

- Chia cả 2  vế cho $\sqrt{2}+1.$

- Đặt ẩn phụ $t={\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x-1}>0,$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn t

- Giải bất phương trình tìm t sau đó tìm x

Cách giải:

Ta có:

${\left(\sqrt{2}+1\right)}^x-{\left(\sqrt{2}-1\right)}^{x-2}\le 2\left(\sqrt{2}+1\right)$

$\iff {\left(\sqrt{2}+1\right)}^x-{\left(\sqrt{2}+1\right)}^{2-x}\le 2\left(\sqrt{2}+1\right)$

$\iff {\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x-1}-{\left(\sqrt{2}+1\right)}^{1-x}\le 2$

$\iff {\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x-1}-\frac{1}{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x-1}}\le 2$

Đặt $t={\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x-1}>0,$ bất phương trình trở thành: $t-\frac{1}{t}\le 2\iff t^2-2t-1\le 0\iff 1-\sqrt{2}\le t\le 1+\sqrt{2}.$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0<t\le 1+\sqrt{2}.$

$\Rightarrow {\left(\sqrt{2}+1\right)}^{x-1}\le \sqrt{2}+1\iff x-1\le 1\iff x\le 2.$

Chọn C.