Tính tổng các nghiệm của phương trình log2 căn bậc hai của

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

Xét hàm đặc trưng.

Cách giải:

ĐKXĐ: $5x-1>0\iff x>\frac{1}{5}.$

Ta có:

${\log }_2\sqrt{\frac{x^2+x+1}{5x-1}}+x^2-4x+2=0$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_2\frac{x^2+x+1}{5x-1}+x^2-4x+2=0$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_2\left(x^2+x+1\right)-\frac{1}{2}{\log }_2\left(5x-1\right)+x^2-4x+2=0$

$\iff \frac{1}{2}{\log }_2\left(x^2+x+1\right)+x^2+x+1=\frac{1}{2}{\log }_2\left(5x-1\right)+5x-1\left(*\right)$

Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=\frac{1}{2}{\log }_{2}t+t\left(t>0\right)$ có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{t\ln 2}+1>0\forall t>0$ nên hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right),$ suy ra $\left(*\right)\iff x^2+x+1=5x-1\iff x^2-4x+2=0\iff x=2\pm \sqrt{2}\left(tm\right).$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=4.$

Chọn B.