Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc

Ta có hai mặt phẳng (SAD),(SBC)   vuông góc với nhau suy ra $\widehat{MSN}=90°$  với M,N là các hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AD và BC. Khi đó H nằm trên đoạn MN.

Lại có .$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60°=\frac{d\left(N;\left(SAB\right)\right)}{d\left(N;SB\right)}=\frac{a}{d\left(N;SB\right)}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45°=\frac{d\left(M;\left(SAB\right)\right)}{d\left(M;SA\right)}=\frac{a}{d\left(M;SA\right)}\end{array}\right.$

Do vậy $d\left(N;SB\right)=\frac{2a}{\sqrt{3}},d\left(M;SA\right)=a\sqrt{2}$ , . Bên cạnh đó ta lại $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{d{\left(N;SB\right)}^2}=\frac{3}{4a^2}=\frac{1}{S{N}^2}+\frac{1}{N{B}^2}\\ \frac{1}{d{\left(M;SA\right)}^2}=\frac{1}{2a^2}=\frac{1}{S{M}^2}+\frac{1}{M{A}^2}\end{array}\right.$

Do $NB=MA=HK$ suy ra $\frac{5}{4a^2}=\frac{1}{S{M}^2}+\frac{1}{S{N}^2}+\frac{2}{H{K}^2}=\left(\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}\right)+\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{H{K}^2}\Rightarrow HK=2a$ .

Vậy $\frac{1}{S{N}^2}=\frac{3}{4a^2}-\frac{1}{4a^2}\iff SN=a\sqrt{2};\frac{1}{S{M}^2}=\frac{1}{2a^2}-\frac{1}{4a^2}\iff SM=2a\Rightarrow SH=\frac{2a}{\sqrt{3}};MN=a\sqrt{6}$