Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm

Câu hỏi :

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S_1\right)$  có tâm $I\left(2;1;0\right)$ , bán kính bằng 3 và mặt cầu $\left(S_2\right)$  có tâm $J\left(0;1;0\right)$ , bán kính bằng 2. Đường thẳng $∆$  thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left(S_1\right)$ , $\left(S_2\right)$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm $A\left(1;1;1\right)$  đến đường thẳng $∆$ . Giá trị tổng $M+m$  bằng

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta đặt $\widehat{AKI}=\alpha ,\widehat{EKI}=\beta$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\min d\left(A,\Delta \right)=AE=AK\sin \left(\beta -\alpha \right)\\ \max d\left(A,\Delta \right)=AD=AK\sin \left(\beta +\alpha \right)\end{array}\right.$

Ta có $I\left(2;1;0\right)$  và $J\left(0;1;0\right)$  nên $K\left(-4;1;0\right)$ .

Ta tính được $\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{26}}\\ \cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{26}}\end{array}\right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}\sin \beta =\frac{1}{2}\\ \cos \beta =\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$  và $AK=\sqrt{26}$ .

Do vậy $\min d\left(A,\Delta \right)=AE=AK\sin \left(\beta -\alpha \right)=\frac{5-\sqrt{3}}{2};\max d\left(A,\Delta \right)=AD=AK\sin \left(\beta +\alpha \right)=\frac{5+\sqrt{3}}{2}$

Vậy .$M+m=5$