Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,

Đáp án C

Ta có diện tích hình thoi ABCD là $S_{ABCD}=2\sqrt{3}{a}^2\Rightarrow S_{ABC}=\sqrt{3}{a}^2$ .

Theo giả thiết $SO\perp \left(SBCD\right)$ .

Kẻ $OK\perp AB,OH\perp SK$ ,

$\Rightarrow AB\perp \left(SOH\right)\Rightarrow AB\perp OH\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right)$.

Ta có:$d\left(C,\left(SAB\right)\right)=2d\left(O,\left(SAB\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

.$\Rightarrow d\left(O,\left(SAB\right)\right)=OH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Khi đó: .$\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{4}{3a^2}\Rightarrow \frac{1}{O{S}^2}=\frac{1}{O{H}^2}-\frac{1}{O{K}^2}=\frac{4}{a^2}$

Vậy .$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SO=\frac{1}{3}.\sqrt{3}{a}^2.\frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$