Cho dãy số un xác định bởi công thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Từ công thức xác định dãy $\left(u_n\right)$  suy ra $u_n>0$ ,$\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Ta có: $u_{n+2}=\frac{2u_n.u_{n+1}}{u_n+u_{n+1}}\iff \frac{1}{u_{n+2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{u_{n+1}}+\frac{1}{u_n}\right)$ ,

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$ , ta được$v_1=1;v_2=\frac{1}{2}$ ;  và$v_{n+2}=\frac{1}{2}\left(v_{n+1}+v_n\right)$

$\iff v_{n+2}+\frac{1}{2}{v}_{n+1}=v_{n+1}+\frac{1}{2}{v}_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow v_{n+1}+\frac{1}{2}{v}_n=v_2+\frac{1}{2}{v}_1=1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow v_{n+1}=-\frac{1}{2}{v}_n+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow v_{n+1}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{2}\left(v_n-\frac{2}{3}\right),\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Đặt $w_n=v_n-\frac{2}{3}\Rightarrow \left(w_n\right)$  là một cấp số nhân với$\left\{\begin{array}{l}{w}_1=\frac{1}{3}\\ q=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \Rightarrow w_n=\frac{1}{3}.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1} \\ \Rightarrow v_n=\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\frac{2}{3} \\ \Rightarrow u_n=\frac{1}{\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\frac{2}{3}} \end{gathered}$$

Vậy $\lim u_n=\lim \frac{1}{\frac{1}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$ .