Cho hàm số y=|x^3+x^2+(m^2+1)x+27| . Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-3;-1] có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử c...

Đáp án D.

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3+x^2+\left(m^2+1\right)x+27$  liên tục trên đoạn $\left[-3;-1\right]$ .

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x+m^2+1>0$  với mọi $x\in \left[-3;-1\right]$

Ta lại có $f\left(-3\right)=6-3m^2;f\left(-1\right)=26-m^2$

Suy ra $\underset{\left[-3;-1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \left\{\left|6-3m^2\right|;\left|26-m^2\right|\right\}=M$

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}M\ge \left|6-3m^2\right|\\ M\ge \left|26-m^2\right|\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\ge \left|6-3m^2\right|\\ 3M\ge \left|3m^2-78\right|\end{array}\right.\Rightarrow 4M\ge 72\iff M\ge 18$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\left|6-3m^2\right|=\left|26-m^2\right|=18\\ \left(6-3m^2\right)\left(3m-78\right)>0\end{array}\right.\iff m^2=8\iff \left[\begin{array}{l}m=2\sqrt{2}\\ m=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Vậy với $\left[\begin{array}{l}m=2\sqrt{2}\\ m=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$  thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[-3;-1\right]$  có giá trị nhỏ nhất.

Khi đó tích các giá trị là $2\sqrt{2}.\left(-2\sqrt{2}\right)=-8$