Cho hàm số y=f(x) . Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên như sau

Đáp án A.

Bất phương trình đã cho tương đương với: $3m<f\left(x\right)-2^{\cos x},\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2^{\cos x}$  trên  $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$.

Bài toán trở thành tìm m để $3m<g\left(x\right),\forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\iff 3m\le \underset{\left(0;\frac{\pi }{2}\right)}{\min }g\left(x\right)$

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)+2^{\cos x}.sinx.ln2$

Nhận xét: Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1<f^{\text{'}}\left(x\right)<6\\ 0<2^{\cos x}.\sin x.\ln 2\end{array}\right.\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)>0$

Do đó ta có $3m\le \underset{\left(0;\frac{\pi }{2}\right)}{\min }g\left(x\right)=g\left(0\right)=f\left(0\right)-2^{\cos 0}=f\left(0\right)-2$

Vậy $m\le \frac{1}{3}\left[f\left(0\right)-2\right]$