Cho là các số thực biết log2((a+b+c)/(a^2+b^2+c^2-1)=a(a-2)+b(b-2)+c(c-2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=(3a+2b+c)/(a+b+c)

Đáp án C.

Ta có: ${\log }_2\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+1}=a\left(a-2\right)+b\left(b-2\right)+c\left(c-2\right)$

${\log }_2\left(a+b+c\right)+2\left(a+b+c\right)+1={\log }_2\left(a^2+b^2+c^2+1\right)+a^2+b^2+c^2+1$

${\log }_2\left(2a+2b+2c\right)+2a+2b+2c={\log }_2\left(a^2+b^2+c^2+1\right)+a^2+b^2+c^2+1\left(*\right)$

Xét hàm $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  (với t>0  )

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>\mathrm{0,}\forall t\in \left(0;+\infty \right)$,  nên hàm số f(t) đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ .

Nhận thấy: $f\left(2a+2b+2c\right)=f\left(a^2+b^2+c^2+1\right)$ , nên $2a+2b+2c=a^2+b^2+c^2+1$  là nghiệm duy nhất của phương trình (*) hay ${\left(a-1\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2=2$

Ta lại có, $P=\frac{3a+2b+c}{a+b+c}\iff \left(P-3\right)\left(a-1\right)+\left(P-2\right)\left(b-1\right)+\left(P-1\right)\left(c-1\right)=6-3P\left(**\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

${\left(6-3P\right)}^2={\left[\left(P-3\right)\left(a-1\right)+\left(P-2\right)\left(b-1\right)+\left(P-1\right)\left(c-1\right)\right]}^2$

$\le 2\left[{\left(P-3\right)}^2+{\left(P-2\right)}^2+{\left(P-1\right)}^2\right]\iff 3P^2-12P+8\le 0\iff \frac{6-2\sqrt{3}}{3}\le P\le \frac{6+2\sqrt{3}}{3}$

Vậy $P_{\max }=\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$  khi $a=\frac{\sqrt{3}+1}{3},b=\frac{1}{3},c=\frac{1-\sqrt{3}}{3}$