Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1] , có đạo hàm dương liên tục trên [0;1] , thỏa mãn tích phân từ 0 đến 1 của căn ((x.f'(x)/(f(x) và f(0)=1; f(1)e. Tính giá trị của f(1/...

Đáp án C.

Hàm dưới dấu tích phân là $\sqrt{\frac{x.f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}}=\sqrt{x}.\sqrt{\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}},\forall x\in \left[0;1\right]$

Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng $\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ , muốn vậy ta phải đánh giá theo $AM-GM$  như sau: $\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}+mx\ge 2\sqrt{m}.\sqrt{\frac{x.f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}}$  với $m\ge 0$  và $x\in \left[0;1\right]$

Do đó ta cần tìm tham số $m\ge 0$  sao cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}+mx\right|dx\ge 2\sqrt{m}.\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\frac{x.f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}}dx$

Hay $\ln \left|f\left(x\right)\right|\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.+\frac{m{x}^2}{2}\left|\begin{array}{l}{}^1\\ {}_0\end{array}\right.\ge 2\sqrt{m}.1\iff \ln \left|f\left(1\right)\right|-\ln \left|f\left(0\right)\right|+\frac{m}{2}\ge 2\sqrt{m}\iff 2-0+\frac{m}{2}\ge 2\sqrt{m}$

Để dấu “=” xảy ra thì ta cần có $2-0+\frac{m}{2}=2\sqrt{m}\iff m=4$

Với m=4 thì đẳng thức xảy ra nên $\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=4x$

$\Rightarrow \int \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\int 4xdx\iff \ln \left|f\left(x\right)\right|=2x^2+C\Rightarrow f\left(x\right)=e^{2x^2+C}$

Theo giả thiết $\left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=1\\ f\left(1\right)=e^2\end{array}\right.\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left(x\right)=e^{2x^2}\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}$