Cho phương trình: 8^x+3x4^x+(3x^2+1)2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10) .

Đáp án B.

Phương trình tương đương với: $8^x+3x{.4}^x+3x^2{.2}^x+2^x=m^3{x}^3-x^3+mx-x$

$8^x+3x{.4}^x+3x^2{.2}^x++x^3+2^x+x=m^3{x}^3+mx$

$\left[{\left(2^x\right)}^3+3.{\left(2^x\right)}^2.x+{3.2}^x.x^2+x^3\right]+2^x+x=m^3{x}^3+mx$$\iff {\left(2^x+x\right)}^3+\left(2^x+x\right)=m^3{x}^3+mx$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t,f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+1>\mathrm{0,}\forall t\in ℝ$                

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R; nhận thấy $f\left(2^x+x\right)=f\left(mx\right)\Rightarrow 2^x+x=mx$   là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có: $2^x+x=mx\iff m=\frac{2^x}{x}+1$  (vì x=0 không là nghiệm của phương trình).

Bài toán trở thành tìm m để phương trình $m=\frac{2^x}{x}-1$  có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10).

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{2^x}{x}+\mathrm{1,}\forall x\ne 0\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2^x\left(x\ln 2-1\right)}{x^2}=0\iff x=\frac{1}{\ln 2}\in \left(0;10\right)$

Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra: $e\ln 2+1<m<\frac{517}{5}\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{3;4;\mathrm{...};102;103\right\}$

Vậy có 101 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.