Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;2), B(-1;0;4), C(0;-1;3) và điểm M thuộc mặt cầu (S): x^2+y^2+(z-1)^2=1 . Khi biểu thức MA^2+MB^2+MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất t...

Đáp án A.

Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC$

Ta có G(0;0;3) và $G\notin \left(S\right)$

Khi đó: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2$

$=3M{G}^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=3M{G}^2+6$Do đó ${\left(M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2\right)}_{\min }\iff MG$  ngắn nhất.

Ta lại có, mặt cầu (S) có bán kính R=1 tâm I(0;0;1) thuộc Oz và (S) qua O.

Mà $G\in Oz$  nên MG ngắn nhất khi $M=Oz\cap \left(S\right)$

Do đó $M\left(0;0;2\right)$ . Vậy $MA=\sqrt{2}$