Hàm số f(x)=(x-1)e^x có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x=0

Đáp án D

Ta có:  $F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int \left(x-1\right)e^{x}dx$

Đặt:  $\left\{\begin{array}{l}u=x-1\\ dv=e^{x}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}\right.$

Do đó:  $F\left(x\right)=\int \left(x-1\right)e^{x}dx=\left(x-1\right)e^x-\int e^{x}dx=\left(x-1\right)e^x-e^x+C$

Theo giả thiết:  $F\left(0\right)=1\iff \left(0-1\right).e^o-e^o+C=1\iff C=3$

 $\Rightarrow F\left(x\right)=\left(x-1\right)e^x-e^x+3=\left(x-2\right)e^x+3$