Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có thể tích 216 cm ^3

Gọi AB = x, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.

Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}{C}^{\text{'}}M.x=24\sqrt{3}\Rightarrow C^{\text{'}}M=\frac{48\sqrt{3}}{x}$

$\Rightarrow C{C}^{\text{'}}=\sqrt{C^{\text{'}}{M}^2-C{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{48\sqrt{3}}{x}\right)}^2-{\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)}^2}$.

Mà $V=216=C{C}^{\text{'}}.S_{ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\sqrt{{\left(\frac{48\sqrt{3}}{x}\right)}^2-{\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\Rightarrow x=4\sqrt{3}$

$\Rightarrow AB=4\sqrt{3},A{A}^{\text{'}}=6\sqrt{3}$.

Kẻ $AH\perp A^{\text{'}}N\Rightarrow AH=\frac{AN.A{A}^{\text{'}}}{\sqrt{A{N}^2+A{A^{\text{'}}}^2}}=3\sqrt{3}$ .

Ta có $\sin \left(AB,\left(A^{\text{'}}BC\right)\right)=\frac{d\left(A,\left(A^{\text{'}}BC\right)\right)}{AB}=\frac{AH}{AB}=\frac{3}{4}$ .