Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau.

Ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f^2\left(x\right)}{f\left(x\right)-m}=+\infty$  nên $\forall m$ , đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$  luôn có một tiệm cận đứng x = 2  .

Mặt khác, từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$  thì phương trình f(x) tối đa 2 nghiệm.

Vậy để đồ thị hàm số $y=g\left(x\right)$  có đúng 3 tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương trình f(x)=m có đúng 2 nghiệm phân biệt$x_1,x_2$  khác 2 $\iff 3<m<6$ .

Khi đó $\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_1^{+}}{\lim }\frac{f^2\left(x\right)}{f\left(x\right)-m}=+\infty ,\underset{x\to x_2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_2^{+}}{\lim }\frac{f^2\left(x\right)}{f\left(x\right)-m}=+\infty$  nên đồ thị hàm số  có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng $x=x_1$  và $x=x_2$ .

Vậy với $3<m<6$  thì đồ thị hàm số y=g(x) có đúng 3 tiệm cận đứng. Do m nguyên nên có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán là m=4 và m= 5  .