Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-3y+2z-15=0

Xét điểm I thỏa $2\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$  suy ra I(1;2;-2).

$2M{A}^2-M{B}^2+M{C}^2=2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2=2M{I}^2+2I{A}^2-I{B}^2+I{C}^2$.

$2M{A}^2-M{B}^2+M{C}^2$ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên .

Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2-3t\\ z=-2+2t\end{array}\right.$  suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_0=1+3t\\ y_0=2-3t\\ z_0=-2+2t\end{array}\right.$ .

Mà $3{\text{x}}_0-3y_0+2{\text{z}}_0-15=0\iff 3\left(1+3t\right)-3\left(2-3t\right)+2\left(-2+2t\right)-15=0\iff t=1$

Vậy .$2{\text{x}}_0+3y_0+z_0=2\left(1+3t\right)+3\left(2-3t\right)+\left(-2+2t\right)=6-t=5$