Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

Ta có: $2^{{\sin }^{2}x}+3^{{\cos }^{2}x}=m{.3}^{{\sin }^{2}x}\iff 2^{{\sin }^{2}x}+3^{1-{\sin }^{2}x}=m{.3}^{{\sin }^{2}x}$ .

Đặt $t={\sin }^{2}x,t\in \left[0;1\right]$ . Phương trình đã cho trở thành:$2^t+3^{1-t}=m{.3}^t\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}=m$ .

Xét hàm số $f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}$ , với $t\in \left[0;1\right]$ . Ta có$f^{\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t.\ln \frac{2}{3}-{2.3}^{1-2t}.\ln 3$

$f^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^{\text{'}}.{\left(\ln \frac{2}{3}\right)}^2+{4.3}^{1-2t}.{\left(\ln 3\right)}^2>0,\forall t\in \left[0;1\right]$

 f'(t) liên tục và đồng biến trên [0;1] nên $f^{\text{'}}\left(t\right)\le f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{2}{3}\ln \frac{2}{9}<0,\forall t\in \left[0;1\right]$ .

f(t) liên tục và nghịch biến trên $f\left(1\right)\le f\left(t\right)\le f\left(0\right),\forall t\in \left[0;1\right]$  nên .

Suy ra $1\le m\le 4$  thì phương trình có nghiệm.