Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ

Phương trình hoành độ giao điểm $\frac{2m\text{x}+m-2}{x+1}=x+3\iff f\left(x\right)=x^2+\left(4-2m\right)x+5-m=0$  ( $x\ne -1$). Đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{2m\text{x}+m-2}{x+1}$  cắt đường thẳng $\left(d\right):y=x+3$  tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}>0\\ f\left(-1\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-3m-1>0\\ m\ne -2\end{array}\right.$(*). (C) cắt d tại A, B suy ra $x_A,x_B$  là nghiệm của phương trình

, theo định lí Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2m-4\\ x_A{x}_B=5-m\end{array}\right.$ .

$A\left(x_A;x_A+3\right),B\left(x_B;x_B+3\right)$ suy ra $AB=\sqrt{2{\left(x_A-x_B\right)}^2}=\sqrt{2{\left(x_A+x_B\right)}^2-8{\text{x}}_A{x}_B}=\sqrt{8m^2-24m-8}$ .

Ta có $AB=\sqrt{2{\left(x_A-x_B\right)}^2}=\sqrt{2{\left(x_A+x_B\right)}^2-8{\text{x}}_A{x}_B}=\sqrt{8m^2-24m-8}$  (thỏa mãn *).

Suy ra tổng các phần tử của S là 3.