Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=(x+1)lnx , trục hoành và đường thẳng x=e

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm: $\left(x+1\right)\ln x=0$  (điều kiện: $x>0)$  

 $\iff \left\{\begin{array}{l}x+1=0\\ \ln x=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(loai)}\\ x=1(\text{thoa man)}\end{array}\right.$

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\underset{1}{\overset{0}{\int }}\left|\left(x+1\right)\ln x\right|dx=\underset{1}{\overset{0}{\int }}\left(x+1\right)\ln xdx$  

Đặt:  $\left\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=\left(x+1\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\frac{x^2}{2}+x\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}S={\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln x\right|}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\frac{1}{x}dx\\ =\frac{e^2}{2}+e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{x}{2}+1\right)dx=\frac{e^2}{2}+e-{\left.\left(\frac{x^2}{4}+x\right)\right|}_1^e=\frac{e^2+5}{4}.\end{array}$