Cho phương trình 4log29x+mlog1/3x+1/6log căn 3x+m-2/9

* Hướng dẫn giải

Ta có:$$\begin{gathered} 4{\log }_9^{2}x+m{\log }_{\frac{1}{3}}x+\frac{1}{6}{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}x+m-\frac{2}{9}=0\left(x>0\right) \\ \iff 4{\left({\log }_{3^2}x\right)}^2+m{\log }_{3^{-1}}x+\frac{1}{6}{\log }_{3^{\frac{-1}{2}}}x+m-\frac{2}{9}=0 \\ \iff 4{\left(\frac{1}{2}{\log }_{3}x\right)}^2-m{\log }_{3}x-\frac{1}{3}{\log }_{3}x+m-\frac{2}{9}=0 \end{gathered}$$     

Đặt$t={\log }_{3}x$ . Khi đó phương trình (1) $\iff t^2-\left(m+\frac{1}{3}\right)t+m-\frac{2}{9}=0$   (2).

Phương trình đã cho có hai nghiệm$x_1,x_2$  thỏa mãn $x_1{x}_2=3\iff {\log }_3\left(x_1{x}_2\right)=1$

$\iff {\log }_3{x}_1+{\log }_3{x}_2=1\iff t_1+t_2=1$ (với $t_1={\log }_3{x}_1$  và $t_2={\log }_3{x}_2$ ).

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (2) ta có $t_1+t_2=1\iff \left(m+\frac{1}{3}\right)=1\iff m=\frac{2}{3}$ .

Vậy $0<m<\frac{3}{2}$  là mệnh đề đúng.