Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (X-1)^2+(Y-2)^2+(Z-2)^2=9

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(1;2;2\right)$  và bán kính R=3.

Gọi K là trung điểm của $MN\Rightarrow K\left(5;-2;4\right)$  và K nằm ngoài mặt cầu (S).

Do đó $\overrightarrow{IK}=\left(4;-4;2\right),\overrightarrow{MN}=\left(2;4;4\right),MN=6$  và $IK\perp MN$ .

Ta có$EM+EN\le \sqrt{2\left(E{M}^2+E{N}^2\right)}=\sqrt{2\left(E{K}^2+\frac{M{N}^2}{2}\right)}=\sqrt{2\text{E}{K}^2+36}$ .

Bởi vậy  đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM=EN và EK lớn nhất.

Vì $IK\perp MN$  nên EM=EN thì E thuộc đường thẳng $IK:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=2+t\end{array}\right.$  .

Tọa độ giao điểm E của đường thẳng IK với mặt cầu (S) ứng với t là nghiệm phương trình:${\left(1+2t-1\right)}^2+{\left(2-2t-2\right)}^2+{\left(2+t-2\right)}^2=9\iff t=\pm 1$

.

Như vậy$E_1\left(3;0;3\right)$  hoặc $E_2\left(-1;4;1\right)$ .

Ta có $E_{1}K=3,{\text{ E}}_{2}K=9$ . Suy ra $E=\left(-1;4;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{IE}=\left(-2;2;-1\right)$  , nên phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại E có phương trình: $-2\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)-1\left(z-1\right)=0$   hay $2\text{x}-2y+z+9=0$ .