Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' . Đường thẳng đi qua trọng tâm của

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của $\mathrm{BC}\Rightarrow \frac{\mathrm{AG}}{\mathrm{A}\text{E}}=\frac{2}{3}$ .

Đường thẳng d đi qua G và song song BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N.

.$\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{A\text{E}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AM=\frac{2}{3}AB\\ AN=\frac{2}{3}AC\end{array}\right.\Rightarrow S_{\Delta AMN}=\frac{4}{9}{S}_{\Delta ABC}$       (1)

Ta có  và $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{\Delta ABC}.A{A}^{\text{'}}$ .      (2)

Từ (1) và (2), suy ra $V_{A^{\text{'}}.AMN}=\frac{4}{27}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\Rightarrow V_{BMNC{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{23}{27}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Khi đó tỉ số:$\frac{V_{A^{\text{'}}.AMN}}{V_{BMNC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}=\frac{\frac{4}{27}}{\frac{23}{27}}=\frac{4}{23}$ .