Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4x^2+3/ căn 2y+1=y+2/x .

Ta có $\frac{4{\text{x}}^2+3}{\sqrt{2y+1}}=\frac{y+2}{x}\iff 4{\text{x}}^3+3\text{x}=\left(y+2\right)\sqrt{2y+1}\iff 8{\text{x}}^3+6\text{x}=\left(2y+4\right)\sqrt{2y+1}$

                                      $\iff {\left(2\text{x}\right)}^3+3\left(2\text{x}\right)=\left(2y+1\right)\sqrt{2y+1}+3\sqrt{2y+1}$ .      (1)

Xét hàm $f\left(t\right)=t^3+3t$  trên R  .

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+3>0,\forall t\in ℝ\Rightarrow$  Hàm số $f\left(t\right)=t^3+3t$  đồng biến trênR .

(1)$\iff f\left(2\text{x}\right)=f\left(\sqrt{2y+1}\right)\iff 2\text{x}=\sqrt{2y+1}\iff x=\frac{\sqrt{2y+1}}{2}$ .

Vậy $P=y-2\sqrt{2y+1}=g\left(y\right)$  với $y\in \left(0;+\infty \right)$ .

Ta có $g^{\text{'}}\left(y\right)=1-\frac{2}{\sqrt{2y+1}}=0\iff \sqrt{2y+1}=2\iff y=\frac{3}{2}$ .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có $P_{\min }=\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }g\left(y\right)=-\frac{5}{2}$  khi .