Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn .

Từ giả thiết ta có: $2{\text{x}}^2\le 2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le {\left(x+y\right)}^2+{\left(y+z\right)}^2+{\left(z+x\right)}^2\le 18\Rightarrow x\in \left[0;3\right]$ .

Một cách tương tự ta có $y,z\in \left[0;3\right]$ .

Do đó ta có $4^{\frac{x}{3}}\le x+1,4^{\frac{y}{3}}\le y+1,4^{\frac{z}{3}}\le z+1;\forall x,y,z\in \left[0;3\right]$ .

Vì vậy$P\le x+y+z+3-\frac{1}{108}{\left(x+y+z\right)}^4$ .

Đặt $t=x+y+z\in \left[0;9\right]$ , ta có $P\le f\left(t\right)=t+3-\frac{1}{108}{t}^4\le \underset{\left[0;9\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(3\right)=\frac{21}{4}$ .

Dấu “=” đặt tại $\left(x;y;z\right)=\left(3;0;0\right),\left(0;3;0\right),\left(0;0;3\right)$ .

Vậy $S=2.21+3.4=54$ .