Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn 3xf(x)-x^2f'(x)=2f^2(x)f(x) với x thuộc (0; dương vô cực) và f(1)=1/2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)...

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Vì x>0  nên  $3x.f\left(x\right)-x^2.f\text{'}\left(x\right)=2f^2\left(x\right)\iff 3x^2.f\left(x\right)-x^3.f\text{'}\left(x\right)=2x.f^2\left(x\right)$

Vì  $f\left(x\right)\ne 0$ nên  $3x^2.f\left(x\right)-x^3.f\text{'}\left(x\right)=2x.f^2\left(x\right)\iff 3x^2.\frac{1}{f\left(x\right)}-x^3.\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x$

$\iff 3x^2.\frac{1}{f\left(x\right)}-x^3.\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x\iff \left(x^3.\frac{1}{f\left(x\right)}\right)\text{'}=2x\Rightarrow x^3.\frac{1}{f\left(x\right)}=x^2+C$ 

Mà  $f\left(1\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2+1}.$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3}{x^2+1}$   trên đoạn [1;2]

 $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^4+3x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x\in [1;2],$ suy ra hàm số đồng biến trên [1;2].

Khi đó  $\left\{\begin{array}{l}\underset{\text{[}1;2]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=\frac{1}{2}\\ \underset{\text{[}1;2]}{\max }f\left(x\right)=f\left(2\right)=\frac{8}{5}\end{array}\right.\Rightarrow M+m=\frac{21}{10}$