Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng a và diện tích

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Do hình chóp tứ giác đều S.ABCD có diện tích đáy bằng $a^2$ nên ABCD là hình vuông cạnh a, đường chéo $AC=a\sqrt{2}.$

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, xét tam giác vuông SOC ta có:

   $SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2},$ vì $OC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Thể tích khối chóp S.OBC là $V=\frac{1}{3}.S_{OBC}.SO=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}{a}^2.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{24}.$

Diện tích tam giác SBC là $S_{SBC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ vì SBC là tam giác đều cạnh bằng a.

Ta có $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=2d\left(O,\left(SBC\right)\right)=2h$ vì ac = 2oc

Mặt khác ta lại có thể tích khối chóp S.OBC là $V=\frac{1}{3}.S_{SBC}.h$

$\Rightarrow h=\frac{3V}{S_{SBC}}=\frac{3.\frac{a^3\sqrt{2}}{24}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$

Vậy $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=2h=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$