Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f'(x) là đường cong trong

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=24f\text{'}\left(2x\right)+96x^2+24x-12=12\left[2f\text{'}\left(2x\right)+8x^2+2x-1\right]$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff 12\left[2f\text{'}\left(2x\right)+8x^2+2x-1\right]=0\iff 2f\text{'}\left(2x\right)+8x^2+2x-1=0\left(*\right)$

Đặt $t=2x,x\in \left[-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right]\Rightarrow t\in \left[-3;1\right].$

Khi đó phương trình (*) trở thành phương trình sau:

$2f\text{'}\left(t\right)+2t^2+t-1=0\iff f\text{'}\left(t\right)=-t^2-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\left(**\right)$

Ta có đồ thị như sau:

$f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-3\\ t=-1\\ t=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\ x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số ta có giá trị lớn nhất của hàm số g(x) đạt tại $x=-\frac{1}{2}\Rightarrow g\left(-\frac{1}{2}\right)=12f\left(-1\right)+2026.$