Có bao nhiêu số nguyên a (a lớn hơn hoặc bằng 2) sao cho tồn tại số thực x

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có:

$\ln \left(a^{\log x^4}+4a^{\log x^2}+4\right)=\frac{\ln \left(x-2\right)}{\log a}\iff \ln \left(a^{4\log x}+4a^{2\log x}+4\right)=\frac{\ln \left(x-2\right)}{\log a}$

$\iff 2\ln \left(a^{2\log x}+2\right)=\frac{\ln \left(x-2\right)}{\log a}$

Đặt $a^{2\log x}+2=t\Rightarrow \log a.2\log x=\log \left(t-2\right)\Rightarrow \log a=\frac{\log \left(t-2\right)}{2\log x}$

$\Rightarrow \ln t.\ln \left(t-2\right)=\ln x.\ln \left(x-2\right)$

Xét hàm $f\left(u\right)=\ln u.\ln \left(u-2\right)$

$\Rightarrow f\text{'}\left(u\right)=\frac{\ln \left(u-2\right)}{u}+\frac{\ln u}{u-2}>0$

Do $t-2=a^{2\log x}\ge 2^{2\log 2}>1$

$$\begin{gathered} \Rightarrow u=x\Rightarrow a^{2\log x}=x-2\iff x-x^{2\log a}=2\Rightarrow x>x^{2\log a}\iff 2\log a<1 \\ \iff \log a<\frac{1}{2}\iff a<\sqrt{10}\Rightarrow a\in \left\{2;3\right\}. \end{gathered}$$