Có bao nhiêu số nguyên dương a thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện: a > 0

Vì $\sqrt{1+{\ln }^{2}a}>\left|\ln a\right|\ge \ln a\Rightarrow \sqrt{1+{\ln }^{2}a}-\ln a>0.$

Do đó $\left(\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a\right)\left(\sqrt{1+{\left(a-3\right)}^2}+a-3\right)\le 1\iff \frac{\sqrt{1+{\left(a-3\right)}^2}+a-3}{\sqrt{1+{\ln }^{2}a}-\ln a}\le 1$

$\iff \sqrt{1+{\left(a-3\right)}^2}+a-3\le \sqrt{1+{\left(-\ln a\right)}^2}+\left(-\ln a\right).\left(1\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\sqrt{1+t^2},t\in ℝ;f\text{'}\left(t\right)=1+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{t+\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}>0,\forall t\in ℝ.$ Suy ra hàm số f'(t) đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Bất phương trình $\left(1\right)\iff f\left(a-3\right)\le f\left(-\ln a\right)\iff a-3\le -\ln a\iff a-3+\ln a\le 0.$

Xét hàm số $g\left(a\right)=a-3+\ln a,a\in \left(0;+\infty \right);g\text{'}\left(a\right)=1+\frac{1}{a}>0,\forall a>1.$

Hàm số g(a) đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right).$ Do đó phương trình g(a) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Mặt khác $g\left(2\right).g\left(3\right)=\left(\ln 2-1\right)\ln 3<0,$ suy ra $\exists a_0\in \left(2;3\right)$ để $g\left(a_0\right)=0$

Do đó: $g\left(a\right)\le 0\iff a\le a_0\Rightarrow a\in \left(0;a_0\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=1\\ a=2\end{array}\right..$