Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1] , có đạo hàm dương và liên tục trên [0;1] , thỏa mãn f(0)=1. Tính I= tích phân từ 0 đến 1 của f(x)dx

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có

$\begin{array}{l}{f}^3\left(x\right)=4+\frac{f^3\left(x\right)}{2}+\frac{f^3\left(x\right)}{2}\ge 3\sqrt[3]{4{[f\text{'}\left(x\right)\text{]}}^3.\frac{f^3\left(x\right)}{2}.\frac{f^3\left(x\right)}{2}}\\ =3f\text{'}\left(x\right).f^2\left(x\right)\end{array}$

Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f^3\left(x\right)+4{[f\text{'}\left(x\right)\text{]}}^3\right]dx\ge 3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right).f^2\left(x\right)dx$ .

Mà $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left\{f^3\left(x\right)+4{[f\text{'}\left(x\right)\text{]}}^3\right\}dx\le 3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\text{'}\left(x\right).f^2\left(x\right)dx$  nên dấu “=” xảy ra, tức là

$\begin{array}{l}4=\frac{f^3\left(x\right)}{2}=\frac{f^3\left(x\right)}{2}\iff f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}f\left(x\right)\\ \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{1}{2}\Rightarrow \int \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx=\frac{1}{2}\int dx\Rightarrow \ln \left|f\left(x\right)\right|=\frac{1}{2}x+C\Rightarrow f\left(x\right)=e^{\frac{1}{2}x+C}\end{array}$

Theo giả thiết $f\left(0\right)=1\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left(x\right)=e^{\frac{1}{2}x}\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2\left(\sqrt{e}-1\right)$