Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng bằng (SAB) bằng . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình...

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

$\begin{array}{l}{S}_{\Delta ADM}=\frac{1}{2}AD.DM=\frac{1}{2}a\left(a-x\right)\\ S_{\Delta ABM}=S_{ABCD}-S_{\Delta AMC}-S_{\Delta ADM}=\frac{a^2}{2}\end{array}$

Ta có: $S_{\Delta ABM}=\frac{1}{2}AH.BM\Rightarrow AH=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}},BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}$

Thể tích của khối chóp S. ABH   là:  $V=\frac{1}{3}SA.S_{\Delta ABH}=\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BH.AH$

$=\frac{1}{6}a\sqrt{2}.\frac{a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}.\frac{ax}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^4.\frac{x}{a^2+x^2}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{a^2+x^2}$  với $x\in [0;a]$

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{a^2-x^2}{{\left(a^2+x^2\right)}^2};f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow x=a$

Trên đoạn $\left[0;a\right]$  ta có $f\text{'}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in [0;a]$

Vậy giá trị lớn nhất của V tại $x=a\Rightarrow V_{\max }=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3.$

Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm Vmax, thật vậy ta có: $V=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^4.\frac{x}{a^2+x^2}\le \frac{\sqrt{2}}{6}{a}^4.\frac{1}{2a}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{12}.$