Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0)

$A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)\Rightarrow$ mặt phẳng (ABC) có phương trình: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Mặt phẳng (ABC) đi qua $I\left(1;2;3\right)\iff \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1.$

Thể tích khối tứ diện OABC là $V=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OA.OB.OC=\frac{1}{6}abc$ (do a> , b > 0, c > 0)

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{3}{c}}=3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}$

$\Rightarrow \frac{6}{abc}\le \frac{1}{27}{\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)}^3=\frac{1}{27}\Rightarrow \frac{1}{6}abc\ge 27$ hay $V\ge 27.$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1\\ \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}\end{array}\right.\iff \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}=\frac{1}{3}\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=6\\ c=9\end{array}\right..$

Vậy $a+b+c=3+6+9=18.$

Chọn C.