Hàm số y = (x + m)^3 + (x + n)^3 − x^3 (tham số m, n) đồng biến trên khoảng

Ta có $y\text{'}=3x^2+6\left(m+n\right)x+3\left(m^2+n^2\right)$.

Để hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)\iff y\text{'}\ge 0,\forall x\in ℝ\iff \Delta \text{'}=2mn\le 0\iff mn\le 0.$

$P=4\left(m^2+n^2\right)-m-n=4{\left(m+n\right)}^2-\left(m+n\right)-8mn={\left[2\left(m+n\right)-\frac{1}{4}\right]}^2-8mn-\frac{1}{16}.$

Vì $mn\le 0\Rightarrow P\ge -\frac{1}{16}.$

Dấu bằng xảy ra khi $2\left(m+n\right)-\frac{1}{4}=0;m.n=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{1}{8};n=0\\ m=0;n=\frac{1}{8}\end{array}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P=4\left(m^2+n^2\right)-m-n$ bằng $\frac{-1}{16}.$

Chọn A.