Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

Chọn A.

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+m$ trên đoạn [1; 3] ta có

$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\in \left[1;3\right]\end{array}\right..$

Khi đó $f\left(1\right)=m-2;f\left(2\right)=m-4;f\left(3\right)=m.$

Suy ra $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=m;\underset{\left[1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=m-4.$

TH1: Nếu $m\left(m-4\right)\le 0\iff 0\le m\le 4$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|=\max \left\{\left|m\right|;\left|m-4\right|\right\}.$

Để $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|\le 4\iff \left[\begin{array}{l}\left|m\right|\le 4\\ \left|m-4\right|\le 4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}-4\le m\le 4\\ 0\le m\le 8\end{array}\right.$

So sánh điều kiện suy ra $0\le m\le 4.$ Trường hợp này có 5 giá trị $m=\left\{0;1;2;3;4\right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: Nếu m < 0 thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|=\left|m-4\right|\le 4\iff 0\le m\le 8.$ So sánh điều kiện thấy không thỏa mãn.

TH3: Nếu $m-4>0\iff m>4$ thì $\underset{\left[1;3\right]}{\max }\left|x^3-3x^2+m\right|=\left|m\right|\le 4\iff -4\le m\le 4.$ So sánh điều kiện thấy không thỏa mãn.

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán.