Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x)[f(x)]^2018=xe^x với mọi

Đáp án A

Ta có: $\int f^{\text{'}}\left(x\right){\left[f\left(x\right)\right]}^{2018}dx=\int x{e}^{x}dx\iff \int {\left[f\left(x\right)\right]}^{2018}df\left(x\right)=\left(x-1\right).e^x+C$

$\iff \frac{1}{2019}.{\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=\left(x-1\right).e^x+C\iff {\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=2019\left(x-1\right).e^x+2019C$

Do $f\left(1\right)=1$  nên $2019C=1$  hay ${\left[f\left(x\right)\right]}^{2019}=2019\left(x-1\right).e^x+1$ .

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(x\right)=2019x.e^x;g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=0;g\left(0\right)=-2019+1+\frac{1}{e^{2019}}<0\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=1+\frac{1}{e^{2019}}>0\end{array}\right.$ .

Xét hàm số  trên .

Ta có .

Bảng biến thiên của hàm số:

Do đó phương trình $f\left(x\right)=-\frac{1}{e}$  có đúng 2 nghiệm.