Cho hình chóp đều S.ABC có AB =2a, khoảng cách từ

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm .

Ta có: $SG\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SG\perp BC$ . Mà $AM\perp BC$  nên $BC\perp \left(SAM\right)$  .

Kẻ  tại H. Suy ra:$AH\perp \left(SBC\right)$

$\Rightarrow d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH=\frac{3a}{2}$.

Ta có:$AM=a\sqrt{3},GM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Đặt SG = x với x > 0.

Ta có:

$SG.AM=AH.SM\Rightarrow x.a\sqrt{3}=\frac{3a}{2}.\sqrt{x^2+\frac{a^2}{3}}\iff x^2=\frac{3}{4}\left(x^2+\frac{a^2}{3}\right)\iff \frac{x^2}{4}=\frac{a^2}{4}\Rightarrow x=a$

Lại có$S_{\Delta ABC}=\frac{{\left(2a\right)}^2.\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$ .

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}.SG=\frac{1}{3}.\sqrt{3}{a}^2.a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{3}$ .