Cho hàm số f(x)=x^3+x^2+mx với tham số thực m. Biết

Đáp án B

Tập xác định: D = R.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x+m$ . Xét $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 3x^2+2x+m=0$ .

Để hàm số có cực trị thì ${\Delta }^{\text{'}}=1-3m>0\iff m<\frac{1}{3}\left(*\right)$ .

Gọi $x_0$  là điểm cực trị của hàm số mà giá trị cực trị tương ứng là 1. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x_0\right)=3x_0^2+2x_0+m=0\\ f\left(x_0\right)=x_0^3+x_0^2+m{x}_0=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-\left(3x_0^2+2x_0\right)\\ x_0^3+x_0^2-\left(3x_0^2+2x_0\right)x_0=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-1\\ x_0=-1\end{array}\right.$.

Với m = -1  hàm số trở thành:$f\left(x\right)=x^3+x^2-x$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+2x-1=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}f\left(-1\right)=1\\ f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{-5}{27}\end{array}\right.$.

Vậy giá trị cực trị còn lại của hàm số là $\frac{-5}{27}$ .