Trong không gian Oxyz, cho ba điểm . A(1;0;0) B(0;2;0)

Đáp án D

Phương trình mặt phẳng$\left(ABC\right):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow 6x+3y+2z-6=0$  .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).

Khi đó H cố định và có khoảng cách $OH=d\left(O;\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|-6\right|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{6}{7}$ .

Từ N dựng mặt phẳng vuông góc với ON tại N, mặt phẳng này cắt OH tại K.

Hai tam giác vuông $\Delta OHM;\Delta ONK$  đồng dạng với nhau.

Suy ra:$OM.ON=OH.OK=12\to OK=\frac{12}{OH}=14$ .

Nhận thấy đường thẳng OH cố định và OK không đổi nên suy ra K cố định. Vậy điểm N luôn nhìn OK một góc 90° không đổi, suy ra quỹ tích điểm N là mặt cầu (S) có đường kính OK.

Bán kính mặt cầu (S) là:$R=\frac{OK}{2}=7$ .