Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân

Đáp án A

Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=\left(1+{\tan }^{2}x\right)dx\Rightarrow \frac{dt}{1+t^2}=dx$ . Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=1$ .

Do đó:$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(\tan x\right)dx=4\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(t\right)dt}{1+t^2}=4\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)dx}{1+x^2}=4$ .

Vậy $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)dx}{1+x^2}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2}f\left(x\right)dx}{1+x^2}=4+2\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=6$ .