Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị y=f(x) như hình vẽ. Đặt g(x)=2f(x)-(x-1)^2 Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y=g(x) trên đoạn [-3;3] bằng

Đáp án B.

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=2f^{\text{'}}\left(x\right)-2\left(x-1\right)=2\left[f^{\text{'}}\left(x\right)-\left(x-1\right)\right].$

Và đường thẳng $y=x-1$  cùng với đồ thị hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$   trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=x-1\iff \left[\begin{array}{l}x=-3\\ x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Bảng biến thiên của hàm g(x) trên [-3;3] 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $\underset{\left[-3;3\right]}{\min g}\left(x\right)=\min \left\{g\left(-3\right);g\left(3\right)\right\}$

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),y=x-\mathrm{1,}x=-\mathrm{3,}x=1.$

Gọi  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),y=x-\mathrm{1,}x=\mathrm{1,}x=3.$

Ta có  $S_1>S_2\iff \underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[f^{\text{'}}\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]dx>\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[\left(x-1\right)-f^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx$

$\iff \frac{1}{2}\underset{-3}{\overset{1}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx>\frac{1}{2}\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left[-g^{\text{'}}\left(x\right)\right]dx$

$\iff \underset{-3}{\overset{1}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx>0\iff \underset{-3}{\overset{3}{\int }}{g}^{\text{'}}\left(x\right)dx>0\iff {\left.g\left(x\right)\right|}_{-3}^3>0$

$\iff g\left(3\right)-g\left(-3\right)>0\iff g\left(3\right)>g\left(-3\right)\Rightarrow \underset{\left[-3;3\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-3\right).$