Có bao nhiêu số nguyên m để GTNN của hàm số y=f(x)=|-x^4+8x^2+m| trên đoạn [-1;3] đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án D.

Ta có: $y=f\left(x\right)=\left|-x^4+8x^2+m\right|=\left|x^4-8x^2-m\right|=\left|{\left(x^2-4\right)}^2-16-m\right|.$

Đặt $t=\left(x^2-4\right),$  vì $x\in \left[-1;3\right]\Rightarrow t\in \left[0;25\right].$

Khi đó $y=g\left(t\right)=\left|t-16-m\right|.$

Ta có $\underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=\underset{\left[0;25\right]}{\min }g\left(t\right)=\min \left\{\left|m-9\right|;\left|m+16\right|\right\}.$

Nếu $m-9\ge 0\iff m\ge \mathrm{9,}$  khi đó $\underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=m-9\ge \mathrm{0,}$  khi đó $\min \left(\underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)\right)=\mathrm{0,}$  khi  m=9

Nếu $m+16\ge 0\iff m\ge -\mathrm{16,}$ $\iff \underset{x\in \left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=-m-16\ge \mathrm{0,}$ khi m=-16

Nếu $\left(m-9\right)\left(m+16\right)<0\iff -16<m<\mathrm{9,}$  khi đó $\underset{x\in \left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=\mathrm{0,}$   khi đó $\min \left(\underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)\right)=0$

Vậy $\min \left(\underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)\right)=\mathrm{0,}$  khi  $-16\le m\le 9.$  

Vì  nên có 26 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.