Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2f(x)+3f(1-x)=x căn (1-x) với mọi x thuộc [0;1]]

Đáp án C.

Đặt $t=\frac{x}{2}\Rightarrow dt=\frac{1}{2}dx.$

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=2\Rightarrow t=1\end{array}\right..$

Khi đó tích phẩn cần tính: $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2t.f^{\text{'}}\left(t\right)2dt=4\underset{0}{\overset{1}{\int }}t.f^{\text{'}}\left(t\right)dt=4\underset{0}{\overset{1}{\int }}t.d\left(f\left(t\right)\right)$

 $={\left.4t.f\left(t\right)\right|}_0^1-4\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt=4f\left(1\right)-4\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)dt$(1).

Theo tính chất tích phân có

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{1}{2+3}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[2f\left(x\right)+3f\left(1-x\right)\right]dx=\frac{1}{5}\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{1-x}dx=\frac{4}{75}$ (2).

Thay lần lượt $x=0;x=1$  vào đẳng thức đã cho có:

 $\left\{\begin{array}{l}2f\left(0\right)+3f\left(1\right)=0\\ 2f\left(1\right)+3f\left(0\right)=0\end{array}\right.\iff f\left(1\right)=f\left(0\right)=0$(3).

Kết hợp (1), (2), (3) có $I=-\frac{16}{75}.$