Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Do $y=f\left(x\right)$  là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định với mọi x.

Theo đồ thị hàm số ta có được $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=x_1\in \left(-2;-1\right)\\ x=x_2\in \left(-1;0\right)\\ x=x_3\in \left(0;\frac{3}{4}\right)\end{array}\right..$

Mặt khác $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(6x^2+6x\right).f^{\text{'}}\left(2x^3+3x^2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}6x^2+6x=0\\ f^{\text{'}}\left(2x^3+3x^2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\\ 2x^3+3x^2=x_1\\ 2x^3+3x^2=x_2\\ 2x^3+3x^2=x_3\end{array}\right..$

Xét hàm số $h\left(x\right)=2x^3+3x^2$  trên

Ta có $h^{\text{'}}\left(x\right)=6x^2+6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}\right.,$  từ đó ta có bảng biến thiên của  như sau:

Từ BBT của hàm số $h\left(x\right)=2x^3+3x^2$  nên ta có $h\left(x\right)=x_1$  có đúng một nghiệm, $h\left(x\right)=x_2$  có đúng 1 nghiệm, $h\left(x\right)=x_3$  có đúng ba nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và

Vì thế phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$  có đúng bảy nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số $y=g\left(x\right)$  có 7 cực trị.