Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên:

Đáp án A.

Bất phương trình đã cho tương đương với $m>f\left(\sin x\right)+3x,\forall x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).$

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(\sin x\right)+3x$  trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).$

Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left(x\right),\forall x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\iff m\ge \underset{\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).}{\max }g\left(x\right).$

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\cos x.f^{\text{'}}\left(\sin x\right)+3.$

Nhận xét: 

Với $$\begin{gathered} x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0<\cos x\le 1\\ -1<\sin x<1\Rightarrow -3<f^{\text{'}}\left(\sin x\right)<0\end{array}\right. \\ \Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)>0.x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right) \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0<\cos x\le 1\\ -1<\sin x<1\Rightarrow -3<f^{\text{'}}\left(\sin x\right)<0\end{array}\right.\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)>0. \end{gathered}$$

Do đó ta có $m\ge \underset{\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).}{\max }g\left(x\right)=g\left(\frac{\pi }{2}\right)=f\left(\sin \frac{\pi }{2}\right)+3.\frac{\pi }{2}=f\left(1\right)+\frac{3\pi }{2}.$

Vậy $m\ge f\left(1\right)+\frac{3\pi }{2}.$