Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy<4y-1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=(6y/x)+ln((x+2y)/y)

Đáp án C.

Ta có $xy\le 4y-1\iff \frac{x}{y}\le \frac{4}{y}-\frac{1}{y^2}=-{\left(\frac{1}{y}-2\right)}^2+4\le 4.$

Đặt $t=\frac{x}{y}\mathrm{,0}<t\le 4.$

 $S=\frac{6y}{x}+\ln \left(\frac{x+2y}{y}\right)$ thành $S=\frac{6}{t}+\ln \left(t+2\right).$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{6}{t}+\ln \left(t+2\right)$  trên $\left(0;4\right]$  được $\underset{\left(0;4\right]}{\min }f\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{3}{2}+\ln 6.$