Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = BA = BC = 1. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC?

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).

Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC.$

Vì $\Delta ABC.$  cân tại B nên H thuộc đường trung trực BM của AC..

Đặt AC=x

Ta có:$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BM.AC=\frac{1}{2}.x.\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}$  và  $R=\frac{abc}{4S_{\Delta ABC}}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}.$

Chiều cao của khối chóp là: $SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{S{B}^2-R^2}=\sqrt{\frac{3-x^2}{4-x^2}}.$    

Thể tích khối chóp là: $V=\frac{1}{3}.SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\sqrt{\frac{3-x^2}{4-x^2}}.\frac{x\sqrt{4-x^2}}{4}=\frac{\sqrt{x^2\left(3-x^2\right)}}{12}.$

Theo bất đẳng thức Côsi ta có: $\sqrt{x^2\left(3-x^2\right)}\le \sqrt{\frac{{\left(x^2+3-x^2\right)}^2}{4}}=\frac{3}{2}.$

Do đó  $V=\frac{\sqrt{x^2\left(3-x^2\right)}}{12}\le \frac{3}{2.12}=\frac{1}{8}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2=3-x^2\iff x=\sqrt{\frac{3}{2}}.$