Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn các điều kiện f(1)=0 và tích phân từ 0 đến 1 của [f'(x)]^2dx=tích phân từ 0 đến 1 của (x+1)e^xf(x)dx=(e^x-1)/4 . Tí...

Đáp án D

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=f\left(x\right)\\ dv=\left(x+1\right)e^{x}dx\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}du=f^{\text{'}}\left(x\right)\\ v=\int \left(x+1\right)e^{x}dx=x.e^x\end{array}\right.$ .

Suy ra $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right)e^{x}f\left(x\right)dx={\left.x{e}^x.f\left(x\right)\right|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\frac{1-e^2}{4}$ .

Chọn k sao cho

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)+k.x{e}^x\right]}^{2}dx=0\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^{2}dx+2k.\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^x.f^{\text{'}}\left(x\right)dx+k^2.\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{e}^{2x}dx=0$

$\iff \frac{e^2-1}{4}-2k.\frac{e^2-1}{4}+k^2.\frac{e^2-1}{4}=0\iff {\left(k-1\right)}^2=0\iff k=1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=-x{e}^x$.

Do đó $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=-\int x{e}^{x}dx=-\left(x-1\right)e^x+C$  mà $f\left(1\right)=0\Rightarrow C=0$ .

Vậy $f\left(x\right)=-\left(x-1\right)e^x\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)e^{x}dx=e-2$ .