Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0) , C(0;0;c) với z,b,c là các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho a^2+b^2+c^2=3 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng...

Đáp án D

Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right):\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{c}{z}=1\left(abc\ne 1\right)$ .

Khi đó: $d\left(O;\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}+\frac{0}{c}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}$

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{9}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{3}=3\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$

Hay $d\left(O;\left(ABC\right)\right)\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a=b=c>0\\ a^2+b^2+c^2=3\end{array}\right.\iff a=b=c=1$ .

Vậy  $d{\left(O;\left(ABC\right)\right)}_{\max }=\frac{1}{\sqrt{3}}$khi $a=b=c=1$ .