Cho phương trình log3(3x^2 - 6x + 6) = 3^y^2 + y^2 - x^2 - 1. Hỏi có bao nhiêu

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

${\log }_3\left(3x^2-6x+6\right)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1\iff {\log }_3\left(x^2-2x+2\right)+x^2-2x+2=y^2+3^{y^2}$

$\iff {\log }_3\left(x^2-2x+2\right)+3^{{\log }_3\left(x^2-2x+2\right)}=y^2+3^{y^2}.$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+3^t;f\text{'}\left(t\right)=1+3^t\ln 3>0,\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$. Vậy phương trình đã cho tương đương với $y^2={\log }_3\left(x^2-2x+2\right)\iff y^2={\log }_3\left[{\left(x-1\right)}^2+1\right].$

Vì 0 < x < 2021 nên $-1<x-1<2020\Rightarrow 0<{\left(x-1\right)}^2<{2020}^2\iff 1<{\left(x-1\right)}^2+1<{2020}^2+1$

$\iff 0<y^2<{\log }_3\left({2020}^2+1\right)\stackrel{y\ge 0}{\iff }0<y<\sqrt{{\log }_3\left({2020}^2+1\right)}\approx 3,7.$

Vì $y\in \mathbb{N}$ nên $y\in \left\{1;2;3\right\}.$ Với mỗi giá trị của y > 0. Ta có 2 giá trị của x thỏa mãn $x=1\pm \sqrt{3^{y^2}-1}.$

Vậy có 6 cặp số (x; y) thỏa mãn đề bài.